Kalkulačka Laplaceovy transformace

Autor: Henrick Yau

- 1. října 2026

| |

Vypočítejte Laplaceovu a inverzní Laplaceovu transformaci pro běžné funkce a výrazy. Zadejte funkci v závislosti na t (časová doména) nebo s (frekvenční doména).

Typ transformace

Laplaceova transformace (čas → frekvence)

Inverzní Laplaceova transformace (frekvence → čas)

Vstup funkce

Zadejte funkci f(t):

Hodnota proměnné (volitelné):

t =

Desetinná místa:

Běžné transformace

Běžné páry Laplaceovy transformace

Časová oblast f(t)	Frekvenční oblast F(s)	Podmínka

O Laplaceových transformacích

Laplaceova transformace je integrální transformace, která převádí funkci reálné proměnné t (často čas) na funkci komplexní proměnné s (frekvence). Převádí diferenciální rovnice na algebraické, což usnadňuje jejich řešení.

Definice

Laplaceova transformace funkce f(t) je definována jako:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀^∞ e^-st f(t) dt

Inverzní Laplaceova transformace je definována jako:

f(t) = ℒ^-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫_γ-i∞^γ+i∞ e^st F(s) ds

Klíčové vlastnosti

Linearita: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
Derivace: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
Integrace: ℒ{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s
Posun: ℒ{e^atf(t)} = F(s-a)
Časové zpoždění: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^-asF(s)

Aplikace

Řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic
Analýza elektronických obvodů a řídicích systémů
Zpracování signálů a analýza systémů
Mechanické kmity a přenos tepla

Co je Laplaceova transformace a k čemu slouží

Kalkulačka Laplaceovy transformace je praktický nástroj, který pomáhá uživatelům řešit Laplaceovu a inverzní Laplaceovu transformaci. Tyto transformace se používají k převodu funkcí mezi časovou a frekvenční doménou – což je základní technika v inženýrství, fyzice a pokročilé matematice.

Tato kalkulačka je užitečná zejména pro studenty, pedagogy a profesionály pracující s diferenciálními rovnicemi, analýzou systémů nebo zpracováním signálů.

Laplaceova transformace:

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

Inverzní Laplaceova transformace:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

Kroky pro použití kalkulačky Laplaceovy transformace

Pro efektivní použití kalkulačky Laplaceovy transformace postupujte podle těchto jednoduchých kroků:

Vyberte typ transformace: Zvolte mezi "Laplaceova transformace" (čas → frekvence) nebo "Inverzní Laplaceova transformace" (frekvence → čas).
Zadejte funkci: Zadejte svůj výraz v závislosti na t nebo s podle zvolené transformace.
Volitelně: Zadejte číselnou hodnotu proměnné pro získání vypočítaného výsledku v tomto bodě.
Zvolte přesnost: Vyberte, na kolik desetinných míst chcete výsledek zaokrouhlit.
Klikněte na "Vypočítat transformaci": Nástroj vypočítá výsledek a poskytne podrobné vysvětlení kroků.

Funkce, které ji činí užitečnou

Podporuje Laplaceovu i inverzní Laplaceovu transformaci
Obsahuje tabulku běžných transformací pro rychlý přehled
Zobrazuje kroky řešení a použité vlastnosti transformace
Nabízí volitelné numerické vyhodnocení funkčních hodnot
Ideální pro rychlé řešení diferenciálních rovnic

Proč používat online kalkulačku Laplaceovy transformace

Ruční výpočet Laplaceových transformací může být časově náročný a náchylný k chybám. Tato kalkulačka proces zjednodušuje a poskytuje okamžité výsledky. Ať už studujete elektrické obvody, mechanické systémy nebo matematické modely, tento nástroj zrychlí vaši práci.

Kalkulačka doplňuje další matematické nástroje, jako je Kalkulačka parciálních derivací pro derivování funkcí více proměnných, Kalkulačka primitivních funkcí pro hledání primitivních funkcí a Kalkulačka druhé derivace pro analýzu křivosti a konvexity. Je součástí širší sady nástrojů užitečných pro vše od hledání limit funkcí pomocí Kalkulačky limit až po řešení integrálů online pomocí Kalkulačky integrálů.

Typické aplikace Laplaceovy transformace

Řešení obyčejných diferenciálních rovnic (ODR)
Analýza řídicích systémů a odezev obvodů
Vyhodnocování chování v časové doméně z výrazů ve frekvenční doméně
Aplikace v inženýrství a fyzice zahrnující přechodové nebo ustálené stavy systémů

Časté otázky o zadávání funkcí a chybách

Otázka: Jaké funkce mohu zadávat?

Můžete zadávat výrazy jako t^2, sin(3t), e^(-2t) nebo 1/s^2. Kalkulačka automaticky rozpozná běžné tvary nebo nabídne pomoc, pokud není shoda nalezena.

Otázka: Co se stane, když moje funkce není rozpoznána?

Pokud váš vstup neodpovídá známým transformacím, kalkulačka vás na to upozorní. Můžete se podívat do tabulky běžných transformací, která je součástí rozhraní, nebo zkusit upravit svůj vstup.

Otázka: Mohu to použít ke kontrole domácích úkolů nebo zadání?

Ano, je to ideální pro kontrolu výsledků Laplaceových transformací a pochopení kroků řešení, což pomáhá upevnit učení.

Otázka: Funguje to také pro inverzní transformace?

Rozhodně. Stačí přepnout typ transformace na "Inverzní Laplaceova transformace" a zadat funkci ve frekvenční doméně v závislosti na s.

Otázka: Je to užitečné i vedle jiných kalkulaček?

Určitě. Používejte ji společně s nástroji jako Kalkulačka implicitních derivací, Kalkulačka věty o střední hodnotě nebo Kalkulačka Jacobiánu pro pokrytí široké škály problémů z analýzy a systémové analýzy.