Kalkulačka divergence

Autor: Henrick Yau
- July 21, 2026
| |

Kalkulačka divergence

Vypočítejte divergenci vektorového pole. Divergence měří rychlost, s jakou „hustota“ opouští danou oblast prostoru, a je klíčovým pojmem ve vektorovém počtu.

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Vstup vektorového pole

Možnosti zobrazení

O divergenci

Divergence je skalární veličina, která měří tendenci vektorového pole "téci" pryč od bodu nebo k bodu. Označuje se ∇·F (del tečka F) nebo div F.

Matematická definice:

Pro vektorové pole F = (F₁, F₂, F₃) v 3D kartézských souřadnicích je divergence definována jako:

div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z
Fyzikální interpretace:

Divergence měří čistý tok pole z malého objemu kolem bodu. V daném bodě:

  • Kladná divergence: Pole teče ven (zdroj)
  • Záporná divergence: Pole teče dovnitř (propast)
  • Nulová divergence: Pole nemá žádný čistý odtok ani přítok (nestlačitelné)
Divergence v různých souřadných systémech:

Kartézské souřadnice (x, y, z):

∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Válcové souřadnice (r, θ, z):

∇·F = (1/r) · ∂(r·Fr)/∂r + (1/r) · ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z

Sférické souřadnice (ρ, θ, φ):

∇·F = (1/ρ²) · ∂(ρ²·Fρ)/∂ρ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂(sin(φ)·Fθ)/∂θ + (1/(ρ·sin(φ))) · ∂Fφ/∂φ
Aplikace:
  • Elektromagnetismus: Gaussův zákon vztahuje divergenci elektrického pole k hustotě náboje
  • Dynamika tekutin: Divergence rychlostního pole indikuje stlačitelnost tekutin
  • Přenos tepla: Divergence tepelného toku popisuje zdroje nebo propady tepla
  • Kvantová mechanika: Divergence hustoty proudu souvisí se zachováním náboje

Co je to kalkulačka divergence?

Kalkulačka divergence je interaktivní nástroj, který vám pomůže vypočítat divergenci vektorového pole ve 2D nebo 3D prostoru. Divergence je pojem z vektorového počtu, který udává, jak moc se vektorové pole v daném bodě rozptyluje nebo sbíhá. Tento nástroj podporuje kartézské, válcové a sférické souřadné systémy.

Je obzvláště užitečný pro studenty, inženýry a všechny, kdo pracují s fyzikálními poli, jako je proudění tekutin, elektromagnetismus nebo termodynamika.

Vzorec divergence v kartézských souřadnicích:
div F = ∇·F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Klíčové vlastnosti

  • Podpora 2D a 3D vektorových polí
  • Volba mezi kartézskými, válcovými a sférickými souřadnicemi
  • Možnost vyhodnotit divergenci v konkrétním bodě
  • Postupný rozpis parciálních derivací
  • Možnost zjednodušit výsledky a ovládat desetinnou přesnost

Jak používat kalkulačku

  1. Vyberte počet dimenzí (2D nebo 3D).
  2. Zvolte souřadný systém odpovídající vašemu problému.
  3. Zadejte složky vektorového pole (např. F₁, F₂, F₃).
  4. Volitelně zvolte vyhodnocení v konkrétním bodě přepnutím možnosti "Vyhodnotit v bodě."
  5. V případě potřeby upravte nastavení zobrazení, jako je počet desetinných míst nebo jednotky úhlů.
  6. Klikněte na Vypočítat divergenci pro zobrazení výsledků a volitelných kroků řešení.

Proč je to užitečné?

Porozumění divergenci pomáhá interpretovat, jak se pole chová v prostoru. Tento nástroj vám umožňuje:

  • Vypočítat divergenci vizuálně a přesně
  • Zkoumat chování polí ve fyzice, inženýrství a matematice
  • Procvičovat derivace funkcí více proměnných a kroky parciálních derivací
  • Ověřit si ručně provedené výpočty nebo práci při řešení problémů

Je obzvláště užitečný v kombinaci s nástroji, jako je Kalkulačka parciálních derivací, Kalkulačka směrové derivace nebo Kalkulačka rotace, zejména při učení matematické analýzy funkcí více proměnných.

Související nástroje

Tato kalkulačka patří do rodiny matematických řešičů, které zahrnují:

  • Kalkulačka parciálních derivací – výpočet parciálních derivací krok za krokem
  • Kalkulačka směrové derivace – analýza změn vektorového pole v určitém směru
  • Kalkulačka druhé derivace – vyhodnocení změn druhého řádu pro hlubší analýzu
  • Kalkulačka rotace – výpočet rotace vektorových polí pro zkoumání rotačního chování

Často kladené otázky

Co je divergence?
Divergence měří, jak moc se vektorové pole v bodě rozptyluje (kladná divergence) nebo sbíhá (záporná divergence).

Může tento nástroj vyhodnocovat parciální derivace?
Ano. Tato kalkulačka provádí derivování funkcí více proměnných na pozadí a počítá parciální derivace každé složky vektorového pole.

Jaký je rozdíl mezi kartézskými, válcovými a sférickými souřadnicemi?
Jedná se o různé způsoby popisu polohy v prostoru. Kartézské používají (x, y, z), válcové (r, θ, z) a sférické (ρ, θ, φ). Vyberte ten, který nejlépe odpovídá vašemu poli nebo problému.

Musím zadávat čísla nebo funkce?
Můžete zadávat výrazy jako x*y*z, sin(θ) nebo r*cos(θ). Kalkulačka zpracovává symbolickou matematiku a v případě potřeby umí vyhodnotit i hodnoty v konkrétních bodech.

Funguje to pro 2D pole?
Ano. Stačí zvolit 2D a rozhraní se přizpůsobí. Třetí složka je odstraněna.

Mohu se z kroků učit?
Rozhodně. Pokud je povolena možnost "Zobrazit kroky řešení", nástroj rozepíše, jak se počítají parciální derivace a jak se kombinují do výsledného vyjádření divergence.